В диссертационной работе излагается последовательный подход к реконструкции динамических систем и долгосрочному прогнозу возможного изменения их качественного поведения, как одной из возможных целей такой реконструкции. Динамической системой (ДС) мы будем называть объект, состояние которого описывается точкой фазового пространства, или фазовыми переменными, и изменяется во времени по закону, задаваемому оператором эволюции. Под реконструкцией здесь понимается построение математической модели оператора эволюции (ОЭ) системы по временному ряду, представляющему собой результаты последовательных измерений некоторой физической величины, связанной с фазовыми переменными моделируемой системы. Измерения при этом производятся с конечной точностью. В работе рассматривается два вида ДС - детермини-

I •<»* рованные и случайные или стохастические. Детерминированной называется такая ДС, будущие состояния которой однозначно определяются г текущим, или по-другому начальными условиями. Под стохастической ДС понимается система, оператор эволюции которой в каждый момент времени является случайным. Физическим объектом, описываемым случайной*' ДС, является система, испытывающая случайные воздействия в процессе эволюции, которые часто называют динамическим или интерактивным шумом.

Разработке методов реконструкции ДС по порожденным ими временным рядам посвящено в последние тридцать лет большое количество работ (см., например, [1-3] и цитируемую там литературу). Такой подход не требует наличия полной и детальной априорной информации о процессах, протекающих в системе, в том смысле, что не включает в себя процедуру построения моделей из первых принципов (уравнений движения среды или отдельных частиц, уравнений для силовых полей, переноса излучения, химической кинетики, тепло и массопереноса и пр.). Математическая модель ОЭ исследуемой ДС при этом строится путем прямого анализа наблюдаемых данных, вообще говоря, без каких-либо допущений о природе изучаемого явления.

ОЭ ДС представляет собой отображение фазового пространства в себя, поэтому для построения его модели необходима реконструкция фазовых переменных системы. Фундаментальной основой методов реализации этого шага являются доказанные Такенсом теоремы [4], а также их обобщения на случай неавтономных и стохастических систем [6], в которых строится вложение фазового пространства произвольной ДС по последовательным измерениям произвольной скалярной функции фазовых переменных. Это вложение представляет собой взятые в достаточном количестве с фиксированным шагом по времени измерения, и носит название «метода координат с задержками». Количество таких координат является, тем самым, размерностью вложения, достаточная величина которой составляет 2Э+1, если £> - размерность исходной ДС. После того, как последовательность состояний ДС восстановлена, может быть сформирован набор пар образов и прообразов, связанных искомым оператором эволюции. Специфика моделирования ДС состоит, в том, что прообразы определяются собственной эволюцией ДС, а не выбираются в процессе эксперимента. Следствием этого является необходимость хаотичности детерминированной ДС, для того, чтобы ее реконструкция была возможна. В то же время стохастическая ДС в ряде случаев может быть восстановлена и по более простым режимам [102].

По подходам к их построению модели ОЭ можно разбить на две группы [1,2] - локальные и глобальные. К первым относятся модели, определяемые в отдельно взятых элементарных ячейках фазового пространства. При их построении используется идея разложения ОЭ в ряд. В качестве функций, аппроксимирующих данный ОЭ, используются полиномы различной степени [7] (в частности, полином нулевой степени — в этом случае предсказание заключается в простом усреднении по образам всех точек из выбранной окрестности), так и более сложные функции, например, системы радиальных базисных функций [8]. В случае хаотической динамики такие модели обеспечивают характерное время предсказания, обратно пропорциональное значению старшего ляпуновского показателя ВР, являющегося мерой разбегания изначально близких фазовых траекторий на хаотическом аттракторе [9]. Для успешной реконструкции поведения системы с помощью описанных локальных моделей необходимо, прежде всего, чтобы окрестность каждой точки исследуемого аттрактора была хорошо посещаема восстановленной фазовой траекторией, т. е. протяженность наблюдаемого ВР (объем данных) должна быть достаточной для хорошего покрытия всего аттрактора. Другим требованием к наблюдаемым данным является стационарность исследуемого ВР (предполагающая постоянство управляющих параметров реконструируемой системы), поскольку описанные методы базируются на эргодической гипотезе. Главным недостатком-локальных моделей является очень большое количество коэффициентов, требуемых для их описания, что очевидным образом снижает точность реконструируемых характеристик системы. Кроме того, высокая чувствительность к измерительному шуму сильно затрудняет их использование при работе с реальными данными. Вследствие перечисленных ограничений локальные модели используются для краткосрочного количественного прогноза эволюции ДС [7].

В противоположность локальным моделям глобальные модели оператора эволюции определяются во всей области фазового пространства, соответствующей наблюдаемому ВР. Привлекательность такого подхода связана с тем, что весь набор имеющихся данных описывается моделью с небольшим (по сравнению с локальными моделями) числом параметров. Более того, с помощью глобальных моделей можно отслеживать изменения управляющих параметров исходной системы, что находит применение в задачах реконструкции неавтономности системы [10-14,101,102], восстановления бифуркационных диаграмм [15-18], передачи информации [1921] и т.д. Чаще всего глобальная модель строится в виде дискретного ОЭ, описывающего связь между состояниями системы, соответствующими соседним по времени пересечениям фазовой траектории с выбранной секущей аттрактора в восстановленном фазовом пространстве. При этом для аппроксимации ОЭ могут использоваться различные функции, такие как, например, системы ортогональных полиномов [22], системы радиальных базисных функций [8,23,24], искусственные нейронные сети (ИНС) [12,13,25,26] и др. Кроме того, предложены методы построения потоковых глобальных моделей, представляющих собой системы дифференциальных уравнений заранее выбранного вида [27-32].

Глобальная модель ОЭ строится в виде функции, зависящей от набора свободных параметров. При этом задача реконструкции ДС сводится к определению этих параметров. Теоретической основой такого определения, при условии, что функциональный вид модели постулируется, является теорема Байеса [44], которая связывает апостериорную плотность вероятности параметров модели (АПВ) с результатами измерений, а также с априорными распределениями параметров, отражающими априорные представления о моделируемой системе. Часто в качестве оценки параметров модели принимаются их наиболее вероятные значения, т.е. значения, соответствующие максимуму АПВ. Частными случаями такого подхода являются метод наименьших квадратов (МНК) (см., например, [9,33,35]), соответствующий системе с однородным динамическим шумом; метод обобщенных наименьших квадратов (МОНК), эффективный в задачах аппроксимации данных, когда погрешность присутствует как в образах, так и в прообразах реконструируемого отображения [34,36,37]; метод множественной стрельбы [39,49], учитывающий «долгие» корреляции наблюдаемой динамической переменной. Одной из целей диссертационной работы является разработка и эффективная реализация «полной версии» Байесова подхода к глобальной реконструкции ДС, позволяющего извлекать из наблюдаемого ВР максимально полную информацию об исследуемой системе.

Попытки построения методик глобальной реконструкции детерминированных ДС, в которых в основе производимых оценок лежат статистические соображения, начали предприниматься сравнительно недавно. Первой работой, направленной на получение несмещенной оценки параметров известной ДС по зашумленному хаотическому ВР, является статья [40], в которой, во-первых, продемонстрировано растущее с увеличением уровня шума систематическое смещение оценок, полученных с помощью МНК и МОНК, и, во-вторых, предложена ценовая функция на основе инвариантной меры модели. На примере ВР, сгенерированного логистическим отображением, показано отсутствие систематической погрешности реконструкции параметра данной системы во всем представленном диапазоне уровня шума. Однако, как было отмечено в последующих работах [38, 41], предложенный метод построения ЦФ содержит ряд неточностей, связанных с неправильной статистической интерпретацией переменных, при этом использование предложенной ЦФ сопряжено с большой вычисли? тельной сложностью. Кроме того, в этих работах, а также в [42-44] отмечается трудность практического использования апостериорной плотности вероятности ненаблюдаемых, построенной статистически корректным' образом (в рамках «классического» Байесова подхода), в случае реконструкции динамической системы по зашумленному хаотическому ВР существенной протяженности. Основная проблема заключается здесь в практической невозможности учета «динамичности» системы в полной мере, что отражается в чрезвычайно сложной («изрезанной») структуре соответствующей функции АПВ. Поскольку именно хаотические ВР, неся в себе информацию о значительной части фазового пространства системы, представляют особый интерес с точки зрения глобальной реконструкции ДС, преодоление данной трудности является очень существенным шагом, на что и были направлены дальнейшие усилия в разработке Байесовых методов. Так, работе [41] предлагается подход, основанный на смягчении требований к динамичности исследуемой системы: при построении искомой АПВ предполагается наличие (кроме детерминированной) слабой стохастической связи между латентными переменными системы, т.е. по сути, в модель вводится динамический шум. Несмотря на то, что, как отмечено в работе [42], авторы фактически «неправомерно» подменили динамическую задачу стохастической, продемонстрировано, что такой подход позволяет получить несмещенные оценки на искомые характеристики системы. В работе [44] нами было показано, что при этом существенно снижается точность реконструкции из-за ослабления априорных требований к системе. В другой работе [38] предложена идея сегментации исходного ВР, при этом налагается требование, чтобы модель «максимально хорошо» воспроизводила наблюдаемую траекторию на этих сегментах. Вопросы выбора оптимальной длины сегмента, а также способа корректной оценки точности реконструкции остаются при этом открытыми.